Introdução a teoria dos conjuntos

Introdução a teoria dos conjuntos 2

Introdução a Teoria dos conjuntos.

Teoria dos conjuntos é a base para toda matemática, é nela onde toda magica é fundamentada.
Embora a maioria das pessoas aprendam o conceito de conjunto logo quando criança muitos
deles não a abstraem corretamente. Grande parte esta impressão erronea é dada devido
a maneira de como é ensinada. Aqui, irei tentar expor de forma clara, e intuitiva
a maioria dos topicos relacionados a teoria dos conjuntos e suas aplicações.

Definição 1. Um conjunto é uma class de elementos que possuem uma propriedade em comum.

A definição acima pode parecer um pouco vaga a priori, mas adiante iremos ver porque esta
é uma maneira útil de se definir oque um conjunto é. Como a maioria de vocês já devem ter
visto , um conjunto tem duas maneiras de ser expresso, uma delas é através de chaves
e a outra através de diagramas.

Ex-1:
A = {a, b, c}
B = {1, 2, 3}

C = {0}

D = {}

O conjunto D acima é chamado conjunto vazio, que também é denotado através da letra grega

. Agora, atentarei para o fato de que existem muitos conjuntos uteis que não são possiveis
de serem expressados através do usual metodo de alistamento de seus elementos. Tais conjuntos
são ditos infinitos, ou simplesmente são grandes demais para serem listados. Quando isto acontece, devemos lançar mão da abstração humana. Tal processo abstração reside em reduzindo os elementos a uma propriedade em comum. Um exemplo simples seria: suponha que voce quer expressar.
o conjunto cujas letras são vogais. Ora, este é um simples exemplo, poderiamos até mesmo
expressa-lo listando seus elementos. Mas suponha que você queira fazer isto da maneira mais elegante. Para litar o elemento desta forma você irá precisar apenas fazer X = {x é uma letra, x é uma vogal}, simples não ? È realmente trivial. Mas vamos nos aprofundar mais, suponha que você queira expressar o conjunto

expressando uma propriedade comum de seus elementos.
Bem, a maneira mais simples de se obter isto é olhando para os elementos. Como voces podem notaro conjunto é formado de numeros pares apenas, e além disso estes numeros são menores que 9.
E, os numeros são maiores do que 1, certamente, é um subconjunto dos numeros naturais
iremos olhar com mais cuidado a definição de subconjunto mais adiante.
Então depois de alcançado este raciocinio vocês terão feito o tal processo abstração. Este por sua vez que é o mais poderoso, e mais intuitivo raciocinio humano. Bem, vamos então escrever o conjunto.

Definição 2. Se A é um conjunto e x é um elemento/conjunto e se x pertence a A então escrevemos

.

Obviamente, se x pertence a um conjunto então x possui a propriedade comum a todos os elementos do conjunto em questão, portanto diz-se que x satisfaz a propriedade do conjunto.
Um exemplo seria : x = 1 e A = {1, 2}.

Definição 3. Se A é um conjunto e x é um elemento/conjunto e se x não aparece em A então dizemos x não pertence a A e escreve-se

Um exemplo, seria x = 4 e A = {1, 2, 3}, claramente 4 não pertence a A.

Definição 4. Se A é um conjunto e B outro, Se os elementos de A se encontram no conjunto B então diz se que A está contido em B e escreve-se