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O conceito de função

Funções e suas aplicações.


Neste posts iremos estudar o conceito de função bem como suas aplicações na matematica.
Uma função como muitos já devem ter visto é uma lei que associa um elemento de um conjunto à outro elemento de outro conjunto. Esta associação pode ser caracterizada de diverentes maneiras.
Oque gera os diferentes tipos de funções, tais como sobrejetiva, bijetiva, e injetiva.
A priori, não iremos nos preocupar com os tipos dela, mas apenas como defini-las, e para que elas servem, e irei introduzir um conceito interessante que pode ajuda-los a entender melhor como criar conjuntos, como estuda-los, e como manipula-los.
No universo tudo pode ser visto como uma função, cada processo que passa diante de nossos olhos pode ser expressado, colocado, explicado em termos de funções. Toda a matemática é reduzida à um simples e suscinto conceito que é o de função. Ah, sim, mas ora, e as tais relações ? Bem, elas são de algum modo funções, e funções são de algum modo de relações é tudo uma questão de ponto de usabilidade. Algumas vezes é interessante pensar em algo como função outra como relação e assim em diante. Quando definimos uma função, precisamos definir um dominio para ela, o contra-dominio é uma consequencia da escolha do dominio muitas vezes embora possamos manipular isso.
O dominio é o conjunto que a função recebera seus valores, a imagem é o conjunto de valures que a função recebeu no dominio, e o contra-dominio é um conjunto mais abrangente um que contem a imagem. Muitas vezes é meio complicado achar a imagem de funções então expressamos apenas o contra dominio. Antes de mais nada, uma função precisa de uma variavel que irá receber valores. Uma variavel é uma abstração de um conjunto de elementos. Assim sendo, conside o conjunto A = {2, 4, 6, 8, ...} o conjunto dos numeros pares, e vamos criar uma variavel chamada x e a ela iremos amarrar o conjunto A isto é x pertence à A. Agora considere o seguinte, o numero 18 é um numero par poderiamos ter x = 18 ? Sim, pois 18 é um numero par e x pertence ao conjunto de numeros pares. Portanto, podemos sim ter x = 18. Agora vamos nos aprofundar mais um pouco.
Uma função é denotada por , onde D é dominio, e C é contra dominio ou imagem.
a notação usual para expressar o valor de f em um numero a do dominio D é f(a) = y, sendo que y está em C. Normalmente se usa f(x) = y. Exemplos de funções são f(x) = 2x + 1,
f(x) = cos(x) + 2 dentre outros.
Agora vamos nos ocupar de alguns exemplos envolvendo funções e conjuntos.
Conside o conjunto Isto pode parecer trivial, mas x = 1 é uma função neste conjunto. Isto ficaria melhor expressado em diagrama de conjuntos.

1---->1
2---->1
3---->1

Oque podemos notar aí ? cada elemento do conjunto {1, 2, 3} corresponde à um só elemento
do outro conjunto que no caso é C = {1} Assim sendo C é a imagem da funão
e 1 = f(x) = x; se x = 1.

Um outro exemplo seria
Este mais um pouco complicado também caracteriza uma função.
A expressão é equivalente ao conjunto dos numeros pares;
e quer dizer x está no conjunto dos numeros pares naturais.
e como x = 1 ou x = 2 então isto quer dizer que a imagem vai conter possivelmente dois elementos. Como x = 1 é um numero impar obviamente ele nao vai estar no conjunto dos numeros pares.
Então só resta x = 2 que é par e satisfaz as propriedades.
Então o conjunto K = {2} que é a imagem da função.

2-->2
4-->2
6-->2
8-->2
..
..

..

Como podemos ver a cada elemento do conjunto a esquerda corresponde à um só elemento do conjunto a direita logo é uma função.


Algo interessante a cerca de variaveis é que elas não existem se não forem associadas a um conjunto. Dizer x é par é sem sentido algum, mas dizer x pertence a N e x é par é meaningful.
Isso resulta em uma consequencia interessante, pois existem apenas duas maneiras de se definir
conjuntos por suas propriedades. Elas são ou no primeiro caso f(x) funciona como um filtro, e no segundo f(x) funciona como um gerador de numeros.
Por examploe, queremos o conjunto de numeros impares , atente para x é impar, como visualizar isto como função ? é simples, é impar. f(x) é dita uma função sentencial, funções sentenciais podem ser vistas como funções onde v é verdadeiro, e f é falso, e S é um conjunto qualquer contendo objetos que f é definida.
então, vamos calculuar o conjunto I. como x pertence a N, e
Vamos escolher x como sendo o menor dos valores de N primeiro e ir aumentando sucessivamente.
espressando I entre chaves como na maneira usual nos temos.
bem, vamos mostrar porque.

f(0):= 0 é impar = falso
f(1):= 1 é impar = verdadeiro
f(2):= 2 é impar = falso
f(3):=3 é impar = verdadeiro
...
..

Simples não ? Quando não conseguimos ver algo devido a isto ser complexo, podemos sempre lançar mão da definição das coisas e ver como as coisas ficam quando inserimos objetos nestas definições e vemos eles são avaliados mediante as propriedades deles.

Bem, no proximo post iremos insistir neste assunto até conseguirmos uma boa base nisso.


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