Calculo integral e diferencial, calculando limite de sequencias.

Exemplo de como calcular limite de sequencias.

Neste poste reforçaremos os conceitos de limite de sequencia s vendo outros exemplos.
Um interessante ponto que não mencionamos ainda é: sequencia s podem convergir para .
No entanto nos reservaremos a palavra convergente para denotar sequencia s que convergem a um numero; não é um numero. Abaixo mostramos melhor o processo de caracterização.
A sequencia é convergente a (ou, a ), se e somente se para qualquer numero real M > 0, existe um inteiro tal que.
para qualquer , nos temos ( ou ).

Em particular, se quando e para qualquer então
nos temos.

para qualquer a > 1.


Exemplo: Mostre que a sequencia .

é convergente.

Resposta Note que

Assim a sequencia é limitada . E, deixe n = 1, nos temos.

e se nos temos n = 2, então.

Você pode se convencer por computando os primeiros numeros da sequencia que estão decrescendo.
Assim nos comparamos os dois numeros.

para qualquer que nos temos.

pois

e

nos então conseguimos.

qual implica.

Isto é exatamente oque esperavamos. Portanto a sequencia está decrescendo. Pois é limitada .
Nos conseguimos concluir que a sequencia é convergente.

É interessante termos uma forte intuição sobre limite s pois praticamente toda matemática moderna
utiliza este conceito como base. O conceito de limite é usado hoje em dia implicitamente ou explicitamente em praticamente 90% de todos os campos da ciência. É nele que todo calculo diferencial e integral é baseado. A noção de derivada da por newton e leibniz é intuitivamente e axiomaticamente construida em cima da noção de limite que por sua vez foi axiomatizada por cauchy.
Assim sendo, é muito importante treinarmos nos mesmos no calculo deles, e é claro na aplicação deles. O conceito de sequencia está intimamente ligado com o conceito de area de uma dada região. Pois mais a frente o conceito de integral de uma função que é por sua vez tido como a area
de uma curva este conceito lançará mão de sequencia s que serão chamadas de series pois
representaram uma soma. Assim sendo, o calculo de uma area sobre uma curva é apenas
o calculo de um limite para uma seria que é uma sequencia de somas.
É interessante praticarmos limite s mesmo que possamos ter outras ferramentas a mão
tais como l'hopital regra. Uma interessante idéia seria pegar um programa pra fazer calculos matemáticos tal como o maxima ou usando o sympy no python, para aqueles que gostem da coisa.
Bom, até o proximo post !