calculo integral e diferencial, estudando mais ainda limite de sequencias.

Mais sobre calculo de limite de sequencias.

Vamos ver mais alguns exemplos de sequencia s e limite s.

Exemplo: Mostre que

Resposta: Temos

então

Também isto é claro que para qualquer . Colocando os dois
resultados juntos, nos concluimos que está
decrescendo e é limitado . Portanto é convergente. Vamos então aogra escrever isto.

Nos temos , para qualquer . Nos assumos que .
Então nos obtemos.

que implica

para qualquer . Isto é impossivel pois a sequencia não é limitada ,
afinal ( ).
Portanto, nos certamente temos L = 1. Isto é

De fato, teremos.

para qualquer a > 0.

O proximo resulto é muito interessante e util. Isto é conhecido como teorema do sandwich.

Suponha que para um n muito grande nos temos

Assuma que as sequencia s são convergentes e

Então a sequencia é convergente. Além disso nos temos

Exemplo Mostre que

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Resposta: Nos temos.

Nos exemplos acima nos mostramos que

O teorema acima implica a conclusão.

Exemplo: Discuta a convergencia de

Resposta: Este certamente não é um exemplo simples. A razão é que se comporta bem extranhamente quando n se torna muito grande.
Porém, nos iremos fazer uso do fato que é limitado e se torna muito pequeno quando n setorna muito grande. Nos temos

pois

então pelo toerema do sandwich nos concluimos que.

Este é um exemplo bem simples que mostra como o teorema do sandwich
pode ser útil. O proximo resultado é também útil e bem usado comumente.

Suponha que f(x) é uma função continua. Se pertence ao dominio de f(x) e quando então nos temos.

Exemplo: Se temos , nos temos.

isto é um resultado já provado peloa maneira difícil...

Exemplo: Mostre que a sequencia

é convergente e ache o limite .
Oque você pensa sobre

para qualquer a > 0?