Conjuntos e suas relações.

União, intersecção, e diferença de conjuntos.

Bem, neste post irei expor os conceitos de intersecção e de união de conjuntos para então
fechar a parte de teoria dos conjuntos.
Como todos nos no dia a dia estamos acostumados a fazer soma, subtração, multiplicação etc.
Também existem operações equivalentes para conjuntos, estas operações são a únião, a subtração de conjuntos, e a intersecção. A união como a maioria já deve ter pelo menos uma intuição
é denotada por

. Um exemplo seria A = {1, 2, 3} e B = {4} então

.

Definição 1: Se A é um conjunto e B outro então a união de A e B é denotada por

Isto quer dizer que o conjunto C é feito de todos os elementos que aparecem em A e B.

Não apenas lidamos com a união como operação, também temos a intersecção que é muito útil
na solução de mesmo alguns problemas do dia dia. A intersecção é simples tal como a união.
Um exemplo seria se A = {1, 2} e B = {1} então a intersecção de A e B seria {1}.

Definição 2. Se A é um conjunto e B outro, então A intersecção B é denotada por

isto quer dizer que I é construido por todos os elementos que aparecem em A e B ao mesmo tempo.

Agora que sabemos oque é união e intersecção, podemos definir oque é diferença de conjuntos.
A diferença de conjuntos seria o oposto da união. Um exemplo seria A = {1, 2, 3} e B = {2, 3} então A - B = { 1 }. Simples não ?

Definição 3. Se E e D são conjuntos então a diferença de E para D é denotada por A - D, e isto quer dizer que o conjunto A - D é formado por todos os elementos que aparecem em A e ao mesmo tempo não estão em D.

No começo, quando os seres humanos não tinham a noção de numero, usavamos uma noção puramente intuitiva de conjuntos mesmo sem ter esta axiomatização de hoje. Quando somamos estamos unindo coisas, quando somamos 3 palitos a quatro sorvetes estão fazendo a união do conjunto de palitos com o conjunto de sorvetes e depois oque fazemos é contar quantos elementos este conjunto novo tem. Então, poderiamos também pensar da soma como o numero de elementos que resulta depois da operação de união entre dois conjuntos. Um outro conceito importante que pertence a teoria dos conjuntos é o conceito de cardinalidade. Isto é, para cada conjunto podemos associar um numero, tal numero representa a quantidade de elementos que está dentro deste conjunto. Assim sendo, para todo conjunto podemos ter um numero. Bem, isto não é verdade para todos os conjuntos afinal, temos conjuntos que são infinitos. Quando conjuntos são infinitos então the hole is deep, comumente usamos conceitos mais abstratos para definir cardinalidade de conjuntos infinitos. Mas iremos introduzir aqui oque a cardinalidade de um conjunto finito é.

Definição 3. Dado um conjunto A, se A é finito então podemos associar A à um numero natural
que corresponde a quantidade de elementos que se figuram em A. Tal numero é expresso por |A| ou #(A).
Assim sendo, se A = {1, 2, 3} então |A| = 3, para B = {} então |B| = 0.

Um interessante fato é,

Acho que todos lembram daquela notação qual usamos para expressar elementos de conjuntos não é? Que tal se expressamos a união, intersecção, e subtração daquela maneira tão elegante ? Expressando-os assim teriamos o seguinte esquema.