Propriedades basicas de limite de uma sequencia
Mais sobre limite s de uma sequencia
Algumas propriedades basicas
- O limite de uma sequencia convergente é único.
- Cada sequencia convergente é limitada superiormente ou inferiormente.
Isto é um interessante resultado pois isto implica que se uma sequencia
não é limitada então isto é divergente. Um exemplo seria a sequencia
não é limitada portanto divergente. - Qualquer sequencia crescente ou decrescente que é limitada é convergente.
Note que se uma sequencia está crescendo então a sequencia é limitada
inferiormente. Isto é para qualquerpara
nos temos
um M tal que M é menor doque qualquerda sequencia .
- Se a sequencia
e
são convergentes e
e
são dois numeros reais arbitrarios então a nova sequenciaé convergente.
Além disso nos temos
Isto é verdade que a sequenciaé convergente e
- Se a sequencia
é convergente e
e
para qualquerentão a sequencia
é convergente. Além disso.
Os seguintes exemplos irão ser uteis para ilustrar o limite de sequencia s.
Exemplo: Mostre que para qualquer numero a tal que 0 < a < 1, temos
Resposta: Pois 0 < a < 1, então a sequencia

obviamente decrescendo e é limitada ; por isto é convergente.
Nos precisamos mostrar que L = 0. Então temos.
Pois a sequencia


limite . Porém
Usando as propriedades previas, nos conseguimos.
Qual implica
Pois

Mas oque aconteceu a sequencia

limitada , isto segue de.
e
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