Mais sobre limite de sequencias

Propriedades basicas de limite de uma sequencia

Mais sobre limite s de uma sequencia

Algumas propriedades basicas

1. O limite de uma sequencia convergente é único.
2. Cada sequencia convergente é limitada superiormente ou inferiormente.
   Isto é um interessante resultado pois isto implica que se uma sequencia
   não é limitada então isto é divergente. Um exemplo seria a sequencia
   não é limitada portanto divergente.
3. Qualquer sequencia crescente ou decrescente que é limitada é convergente.
   Note que se uma sequencia está crescendo então a sequencia é limitada
   inferiormente. Isto é para qualquer para nos temos
   um M tal que M é menor doque qualquer da sequencia .
4. Se a sequencia e são convergentes e e
   são dois numeros reais arbitrarios então a nova sequencia é convergente.
   Além disso nos temos
   

   

   Isto é verdade que a sequencia é convergente e
   

   

5. Se a sequencia é convergente e e
   para qualquer então a sequencia é convergente. Além disso.
   

   

   
   

Os seguintes exemplos irão ser uteis para ilustrar o limite de sequencia s.

Exemplo: Mostre que para qualquer numero a tal que 0 < a < 1, temos

Resposta: Pois 0 < a < 1, então a sequencia está
obviamente decrescendo e é limitada ; por isto é convergente.

Nos precisamos mostrar que L = 0. Então temos.

Pois a sequencia é uma calda para a sequencia por isso eles tem o mesmo
limite . Porém

Usando as propriedades previas, nos conseguimos.

Qual implica

Pois então nos devemos ter L = 0.

Mas oque aconteceu a sequencia se a > 1 ? Isto é divergente pois isto não é
limitada , isto segue de.

e