Calculo integral e diferencia, introdução a sequencias.

Limite de uma sequencia, parte 2.

Depois de discutirmos os dois exemplos do ultimo post vamos dar uma olhada
em alguns exemplos mais complicados e introduzir novos conceitos.

Exemplo: Como antes, pegue sua calculadora e insira o numero 0.3.
E considere f(x)=4(1-x)x. Então faça o mesmo como você fez nos exemplos anteriores.
E finalmente analise a saida.

Resposta: Neste caso nos temos
então

Se nos continuarmos então temos.

n xn
1 0.3
2 0.84
3 0.5376
4 0.994345
5 0.0224922
6 0.0879454
7 0.320844
8 0.871612
9 0.447617
10 0.989024

É claro que apartir deste exemplo nenhuma conclusão pode ser obtida.
De fato, você está certo e ainda mais: esta sequencia é completamente caotica(veja a figura abaixo para os 50 primeiros termos da sequencia ).
Isto significa que mesmo que se nos tivessemos computado o primeiro bilhão de termos, nada aconteceria. Isto é realmente assustador porém não iremos tratar disto.

Esta sequencia tem uma interessante propriedade que é comumente estuda em
vários campos da ciência tais como biologia e outros. Ela é um modelo discreto de matemática
para o crescimento de populações que por sua vez são dinamicas. Tais modelos são chamados modelos logicos discretos.

Agora vamos sumarizar oque nos entendemos apartir destes exemplos.

Considere uma sequencia de numeros . Algumas vezes os numeros se tornam
proximos a um numero L. Nos vamos escrever . E algumas vezes os numeros não exibem este comportamento. Se eles exibem este comportamento de se aproximar de um numero nos iremos dizer que a sequencia é convergente e tem um limite igual a L. Nos vamos escrever

ou simplesmente

Pode acontecer que nos diremos n se torna tão grande quanto possivel isto é .
Se uma sequencia não é convergente então a sequencia é chamada divergente.

Vamos discutir a definição acima. A sequencia é convergente se existe um numero L tal que os numeros tornam-se mais proximos de L quando n se torna cada vez maior.

Nos temos de estar certos que é justificada. Isto é , que se torna realmente proximo de L. Nos não queremos se torne proximo de L e então quando temos isto não é proximo de L. Isto seria terrivel em algumas calculações.
Assim sendo quando dizemos que torna-se proximo de L quando n se torna muito grande isto quer dizer que você pode se aproximar de L com quantas casas decimais você desejar
isto é, quanto mais proximo voce desejar. Um exemplo seria, se eu quero meu para ser proximo de L acima de 100 digitos então eu estou certo que n é realmente grande o suficiente.
Se eu tiver proximo de L acima de 100 digitos isto vai acontecer se
Em outras palavras deixe-nos ter para ser um pequeno numero qual seria um erro como

Então existe tal que para cada nos temos.

O numero N nos diz quão longe devemos ir para conseguir se aproximar de L acima de

Definição A sequencia converge a um numero L se e somente se
para cada existe um numero tal que para cada

Algums autores vão usar em vez. Nenhum perigo, não se preocupe sobre isto.

Exemplo: Mostre que

Resposta: Deixe . Nos sabemos que vai existir um inteiro tal que

Deixe então nos temos.

Nota: Mantenha em mente que mede o error entre os numeros e o limite L enquanto o inteiro N mede o quanto rapido a sequencia se torna proximo de L.