Algebra basica.

Alguns conceitos algebricos.

Neste post vamos trabalhar alguns conceitos algebricos para podermos ter
melhor desenvoltura quando trabalhando com funções. Mas antes de prosseguirmos
irei definir oque é uma função polinomial e aprenderemos a achar raizes de algumas delas.
Uma função polinomial é uma função em uma variavel x que usualmente possui a forma note que pois . E em R, embora possamos ter em C tal como em outros conjuntos.
Como mencionado nos ultimos posts os valores para os quais f(x) = 0 são ditos raizes ou roots da equação. Como numeros, podemos somar, dividir, subtrair, e multiplicar funções e então obtemos outras funções. A definição destas operações sobre funções polinomiais segue abaixo, em seguida falaremos de um conceito que é importante o de fatoração de polinomios.

1) Soma de duas funções.
Seja f e g duas funções polinomiais definidas num dominio D. A soma de f por g é defina como sendo $ (f+g)(x)=f(x) + g(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + a_(n-2)x^(n-2) + ... + ... a_1x^1 + a_0x^0 + b_nx^n + b_(n-1)x^(n-1) + b_(n-2)x^(n-2) + ... + ... b_1x^1 + b_0x^0 =
a_nx^n + b_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + b_(n-1)x^(n-1) + a_(n-2)x^(n-2) + b_(n-2)x^(n-2) + ... + ... a_1x^1 + b_1x^1 + a_0x^0 + b_0x^0$

Vou aproveitar esta deixa para falarmos do conceito de fatoração, e em seguida usaremos o conceito na expressão acima. Se nos tivermos uma expressão como a(2+b) + c(2+b) nos poderemos fatora-la, isto é faremos o termo que aparece em comum em todos os monomios ser um dos fatores do produto que teremos. Lembrando que um monimio é um produto, assim sendo 2x, 2xy, 4mxz, 7xya são monomios, ou seja monomio é toda expressão algebrica que não possui soma, tal como x/4, 5y/a e assim em diante. Temos que a + b é dito binomio e y + x + z é dito trinomio. Vamos voltar ao conceito de fatoração agora, queriamos fatorar a expressão a(2+b) + c(2+b), como (2+b) aparece em todos os monomios podemos fatora-la isto é coloca-la em evidencia. A expressão fatora ficaria então (2+b)(a + c), repare que trasformamos a soma em um produto de dois binomios que por sua vez se tornou de certo modo um monomio também.

Antes de fatorarmos aquela grande expressão da soma vamos praticar com mais alguns exemplos.



bem, para visualizar a igualdade acima teremos de lançar mão de alguns artificios.

como a, b e são numeros reais, temos tres possibilidades.

a primeira delas é, a menor que b

se a menor que b então podemos dizer que existe um numero k tal que b = a + k

mas ora, se a maior que b temos que b menor que a portanto existe k' tal que b = a - k'

e se b = a então certamente existe k tal que b = a + k , k = 0


vamos reduzir os tres casos a um único caso por simplicidade.

vamos mostrar que |k'| = |k|, onde |a| quer dizer modulo de um numero real ou distancia.
assim sendo, |-2| = 2, |2| = 2, |-5| = 5, |8| = 8. e |-9| = |9| isto é, o modulo de um numero real
é um numero sempre positivo.

para mostrar que k = k' vamos usar o fato de que se b = a + k e b = a - k' então

a + k = a - k' oque temos a - a + k = - k' = 0 + k = - k', assim sendo k = -k'.

e como |k| = |-k'| temos provado oque queriamos.

Como para cada numero k positivo existe um numero -k positivo também.
podemos reduzir tudo a um único caso. isto é.
Se a e b são dois numeros reais então existe um numero k real tal que b = a + k.
Pois se a menor que b sempre podemos adicionar uma quantidade negativa à b de modo a faze-lo ser igual a a e o mesmo ocorre para a maior que b acrescentando uma quantidade positiva à b afim de faze-la igual à a.

Sendo assim começamos nossa demonstração com a asserção

b = a + k, para algum real k.

então podemos escrever como ...


como b = a + k, vamos isolar k em termos de b e a, encontramos...

k = b - a

substituindo k novamente por b e -a obtemos...

lembre-se que sempre que tivermos -a isto será igual à (-1)*a, logo se temos (-x-y) isto é igual à (-1)(x+y) = -(x+y)

logo chegamos ao que queriamos mostrar !!!

Agora que demos uma olhada em fatoração fica mais simples entender oque vamos fazer na definição de soma de funções polinomiais.



No proximo post introduziremos uma notação mais leve, a de somatorio qual nos permitirá trabalhar com maior desenvoltura bem como definir as outras operações com funções polinomiais.