Funções e graficos.

Grafico de funções.

No ultimo post vimos que o conjunto G do grafico de uma função está contido no produto
cartesiano do dominio pela imagem da função.
Neste post iremos encontrar melhores meios para traçar o grafico de uma função
no plano cartesiano, isto é, representa-lo graficamente. No ultimo post mencionamos
que algumas funções se anulam para determinados valores de seu dominio.
Tais pontos são ditos soluções ou raizes da função. Isto é se f(x) = 0 para algum x do dominio D de f então os valores de x para os quais f(x) é zero são ditos raizes.
Suponha então f(x) = x - 1, vamos tentar encontrar os valores de x para os quais f(x) se anula, para isso fazemos f(x) = 0 então temos x - 1 = 0, oque nos resulta em uma simples equação do primeiro grau, resolvendo-a obtemos x = 1, portanto só existe um ponto x = 1 tal que a função se anula escrevemos S = {1}. Quando uma função se iguala a zero em um ponto de seu dominio podemos também interpretar isto graficamente. A interpretação deste fato é vista como sendo o ponto onde a curva da função f(x) corta o eixo dos x. Isto é o ponto (x, 0) pertence ao grafico G da função. Usando o exemplo anterior de f(x) = x - 1, temos então o ponto (1, 0) como sendo um ponto qual pertence ao eixo dos x. No exemplo do post anterior da função teriamos como conjunto solução S = {1, -1} e teriamos portanto os pontos (1, 0) e (-1, 0) qual ambos pertencem ao eixo dos x. Há funções cujos valores nunca se anulam, tais funções seus pontos jamais cortam o eixo dos x, um exemplo de tal função é cujo grafico é interessante de vocês plotarem.
A função está definida para x = 0, pois não existe divisão por numero 0. Assim sendo, o dominio dela é R - {0} ou seja (-oo, 0) U (0, +oo). A notação (-oo, 0) ainda não vimos, mas inicialmente
pense no -oo le-se alpha, como sendo infinito. e R-{0} quer dizer como já foi explicado anteriormente, todos os numeros do conjunto R que não pertencem a {0} isto é, o conjunto R -{0} será o conjunto de todos os numeros exceto o 0. O - é dito diferença de conjuntos.
Um outro exemplo de função que jamais corta o eixo dos x é , não existe nenhum numero
em R tal que faça esta função se anular a imagem desta função é totalmente formada por valores positivos. È fácil perceber porque a imagem é , como então certamente para qualquer valor real. Isto vem de um teorema util que diz como simples não ?
Agora que sabemos o significado de f(x) = 0, vamos entender oque significa geometricamente x = 0, isto é o valor de f(0). Quando fazemox x = 0 para uma dada função f, o valor f(0) corresponde ao ponto da curva que corta o eixo do y, assim sendo (0, f(0)) é o ponto que pertence ao eixo dos y. Vamos então agora aprender como traçar o grafico de uma reta no plano cartesiano sem ter de calcular a imagem do dominio dela usando o metodo da tabela. Como é bem conhecido que por dois pontos se passa uma única reta, precisamos apenas de dois pontos para determinar de modo único uma reta no plano cartesiano. Poderiamos escolher quaisquer pontos do dominio e então calcular o valor da funçao naqueles dois pontos. Mas por motivos de simplicidade podemos calcular os pontos (0, f(0)) e (x, 0) , para achar (0, f(0)) basta substituirmos f por 0. Já para acharmos (x, 0) basta fazermos f(x) = 0, no exemplo da função x - 1, temos (1, 0) como sendo o ponto que pertence ao eixo dos x isto é que a reta corda o eixo dos x. E o ponto que pertencen ao eixo dos y é (0, -1).


Vamos agora aplicar estes conceitos para traçar o grafico de
Como fizemos anteriormente, vamos achar o ponto (0, g(0)) temos (0, -1)
portanto o ponto (0, -1) pertence ao eixo dos y.
Para acharmos o ponto cuja ordenada é 0 precisamos igualar a função x^2 - 1 a 0.
Temos segue portanto x = -1 ou x = 1, pois e
assim sendo, o conjunto solução é S = {-1, 1} que é o conjunto de valores para os quais a função se torna negativa.
Nos proximos posts estaremos trabalhando um pouco de manipulação algebrica
pois sem ela é impossível lidar com funções bem. Vamos aprender a resolver equações fracionais, e inequações e só então voltaremos ao dar uma emphase em funções desta maneira.