Alguns limites interessantes de calculo diferencia e integral.

Limites desafiadores.

Limites desafiador es
Nós temos visto nos exemplos anteriores limite s fundamentais. Tais limite s são usados
no calculo de outros limite s mais complexos. Aqui iremos discutir estes limite s que são um tanto quando desafiador es. Tente encontrar a solução antes de olhar a resposta.
Boa sorte.

Exemplo: Para qualquer real a, definimos [a] como sendo o maior inteiro
menor que ou igual a a. Assim, [3.1] = 4, [5.2] = 6. Mostre que a sequencia

onde

é convergente. Ache o limite .

Resposta: Para qualquer real numero a, nos temos.

ou

Por isso, para qualquer inteiro , nos temos.

Isto implica.

qual é o mesmo que

afinal

nos temos

Dividindo por , nos conseguimos.

pois

O teorema do sandwich dá.

Exemplo: Seja a convergente sequencia . Mostre que
a nova sequencia

é convergente. Alem disso nos temos

Resposta:
Faça

Manipulações algebraicas nos dá.

Assim, , Então, existe tal que para qualquer
nos temos

Assim sendo, para nos temos.

que certamente implica em

escrevendo

afinal , então existrá tal para qualquer nos temos

Colocando as equações juntos nos conseguimos

Assim, para nos conseguimos.

Assim, completamos a prova.