Resolvendo alguns limites e testando o maxima

Brincando com o maxima

Achando alguns limite s e experimentando maxima
Uma nota interessante é, a sequencia gerada apartir de é chamada media da sequencia . Note que para a sequencia a media é convergente a 0, enquanto o valor inicial não converge. No proximo exemplo nos vamos considerar a media geometria.

Exemplo: Deixemos ser uma sequencia de numeros positivos ( isto é para qualquer ). Deinimos a media geometrica por

Mostre que se é convergente então é também convergente e

Resposta Afinal, $img34.gif, assim nos usamos a função logaritmica
para conseguirmos

Isto significa que a sequencia é a media da sequencia , Pois é convergente e deduzimos que é também convergente, além disso nos temos.

Usando os exemplos previos nos somos capazes de concluir que a sequencia
é convergente e

Usando a função exponencial, nos deduzimos que a sequencia é convergente
e é claro que

Abaixo segue alguns exemplos que eu resolvi no maxima que é um programa para
resolver calculos matematicos, calcular derivadas, integrais, limite s
dentre outras coisas. E é gratis o programa.
Se você estiver rodando linux, é facil de instalar usando seu programa de instalação prefirido
eu como uso debian apenas dei um apt-get maxima.

Se instalado, você digita maxima no terminal.

tau@spin:~/job/build$ maxima

Maxima 5.21.1 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (a.k.a. GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1)

O (%i1) é a linha de input.

Vamos digitar algumas coisas e ver como funciona.

(%i1)
;
incorrect syntax: Premature termination of input at ;.
;
^
(%i1) x^2 + 2
;
2
(%o1) x + 2
(%i2) x^2 + 3;
2
(%o2) x + 3
(%i3)

Veja que quando digitei apenas ; ele retornou uma mensagem de erro.

E nos seguintes comandos ele simplesmente retornou uma representação ascii que é parecida
com a maneira de como escrevemos expoentes.

Vamos falar do commando para calcular limite .

Ele é limit(expressao, variavel, ponto, direção)

isto é.


(%i3) limit(x^2 + 3, x, 0, plus);
(%o3) 3
(%i4) limit(x^2 + 3, x, 0, minus);
(%o4) 3
(%i5)

O plus corresponde ao limite a direita.
E minus corresponde ao limite a esquerda.

Isto é, quando x tende a 0 pela direita ou quando x tende a 0 pela esquerda.

(%i5) limit(1/x, x, 0, plus);
(%o5) inf
(%i6) limit(1/x, x, 0, minus);
(%o6) minf
(%i7)

Veja que quando fazemos 0 tender a 0 pela direita o resultado é inf, que é alpha positivo.
E quando fazemos x tender a 0 pela esquerda o resultado é minf que é alpha negativo.

(%i7) limit(1/x, x, inf);
(%o7) 0
(%i8)
(%i8) limit(1/x, x, minf);
(%o8) 0
(%i9)

Veja que quando fazemos x tender a infinito o limite é 0 mas o limite tende a zero pela
direita pois o produto 1/x é positivo.

E quando x tende a menos alpha então o limite também é zero mas ele tende a zero pela esquerda
pois o produto 1/x quando x tende a menos alpha é negativo.