Conjuntos e dominio de funções.

Produto cartesiano

Neste post vamos falar de listas e o conceito de produto cartesiano pois para seguirmos no estudo de funções precisamos dominar isto. Uma lista como o nome pode clarificar é uma sequencia de numeros que é expressa entre parenteses e usando-se virgulas. Exemplos de listas são (-1, 2, 0, 1) , (1, 2), (0, 2), (4, 1, 3), (0, 1, 2). Também chamamos de par ordenado.
Para termos uma lista precisamos também de um conjunto base, ou dois. Vamos então explicar oque produto cartesiano é. Acredito eu que a maneira mais simples de se mostrar isto é olhando atentamente para as propriedades deste objete.
Se A = {0, 1, 2} e B = {4, 2}
então o produto cartesiano de A por B é



olhando para o resultado da operação podemos perceber que o conjunto resultado possui |A| * |B| = 3 * 2 = 6 elementos. È fácil notar que para cada elemento do conjunto A existe todos os elementos do conjunto B correspondendo. Vamos calcular o produto cartesiano do conjunto B por A



Podemos notar que claramente neste exemplo, nem sempre o produto cartesiano é comutativo, mas podemos ter sim A por B igual a B por A quando A = B.

Como |C| = |D| temos para todo conjunto A e B.


É importante notarmos que podemos calcular o produto cartesiano de qualquer tipo de conjunto, de palavras, de qualquer tipo de numeros. Um exemplo é U = {a, b} vamos calcular U por U.



Atente para o quando temos um produto como
Usamos a notação para denotar tal operação.

Agora que sabemos oque são listas ou pares ordenados podemos introduzir o conceito de plano cartesiano. Um plano é um conjunto de pontos, podemos construir o plano apartir do conjunto de pontos da reta assim sendo, se temos uma reta l, cujo conjunto de pontos é expresso por *l = \{X | X \in l\} podemos calcular o produto cartesiano que será um conjunto de pares ordenados do tipo (a, b) com a e b pertencendo a l. Como é de fato conhecido que existe uma correspondencia entre pontos de uma reta de numeros reais então, vamos falar do conjunto R agora como sendo um conjunto de pontos e o conjunto *R vai ser o conjunto de pontos do plano cartesiano tal que o simbolo é lido como 'e/and'.

É importante mencionar que podemos ter um conceito analogo para o conjunto dos numeros naturais, e inteiros, bem como qualquer outro conjunto.

Agora vamos ver como calcular o conjunto *R que é be simples.

Como sabemos que o conjunto real R é infinito, então só oque podemos ter é um esboço deste conjunto *R e visualiza-lo usando a nossa capacidade de abstração.


Assim sendo, vamos calcular *R para os valores de R' = {-2, -1, 0, 1, 2}

neste caso *R' = {(-2, -2), (-2, -1) , (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-1, -2), (-1, -1), ... }

Somente por estes pontos conseguimos ter uma idéia de como seria o plano cartesiano.

Certamente todos nos já temos um conceito de plano cartesiano desde cedo então lá vai uma breve definição. Definição 1. Um plano cartesiano é formado por dois eixos que são chamados x e y.
O eixo dos x é chamado abscissa e o eixo do y é chamado ordenada. O eixo do y é vertical e perpendicular ao eixo do x que é horizontal. Em baixo segue uma imagem bem como o grafico de uma reta y = 2x + 1 plotado nele.

O dominio desta função é real, e a imagem é real também.

Bem, acho que precisamos de um descanso, estamos quase lá. No proximo post estaremos
voltando ao conceito de função pois agora temos quase o armamento necessario para entendermos
bem como trabalhar com elas. !!!