Introdução ao calculo diferencial e integral

Definições basicas de sequencias.

Sequencia s: definições basicas


Primeiro, consideremos a sequencia . Então logo nos temos a propriedade.

É intuitivo que os numeros estão se tornando cada vez maiores. Agora consideremos a sequencia .

Neste caso, nos temos

Observe que os numeros estão se tornando cada vez menores. Você certamente pode se perguntar
se para qualquer sequencia de numeros teremos sempre um destes dois comportamentos. A resposta é claramente não, pois considere a sequencia .

Então nos temos.

Algumas poderiam pensar que esta sequencia está se tornando cada vez maior. Mas isto está errado. Pois, se calcularmos além nos teremos.

Prestem atenção no decimo numero que é igual ao nono numero. Nada errado ainda, mas
vamos verificar o decimo primeiro numero.

O decimo numero é claramente maior que o decimo primeiro numero. Isto é, a sequencia
se torna maior e maior antes dela alcançar o decimo numero então depois do decimo numero
a sequencia acaba se tornando menor e menor. È fácil encontrar um outro exemplo, no entanto
este exemplo é interessante pois a maioria de nos teriamos pensado que esta sequencia
é crescente a primeira vista.

Nota: Para verificar se uma sequencia está realmente se tornando maior
e maior nos devemos checar se

Isto certamente nos tomaria muito tempo para algumas sequencia s. Existe uma maneira
mais simples, e abstrata, isto é, nos devemos checar se para qualquer ,
isto será suficiente. Isto seria um argumento indutivo e certamente convenceria a maioria.

Definições : Considere a sequencia . Nos diremos que é

Crescente, se e somente se, para qualquer
Decrescente, se e somente se, para qualquer


Se uma destas propriedades é constatada verdadeira nos diremos que a sequencia é monotonica.


Exemplo: Verifique se a sequencia está crescendo.

Resposta: Deixe então nos teremos pois 2 > 1 então
qual nos dá

Exemplo: Verifique se a sequencia está decrescendo.

Resposta Seja . Então nos teremos n < n + 1. Portanto ...

Nota: Assim sendo, uma sequencia está crescendo se e somente se
para qualquer e decrescendo se e somente se para qualquer