Introdução ao calculo diferencial e integral, sequencias

Sequencia e suas propriedades.

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Sequencia s, e suas propriedades

Vamos voltar a nossa analogia do cientista coletando dado a cada dia onde
representa o dado coletado depois de n dias. Oque aconteceria se o cientista tivesse descoberto que o dado que ele havia coletado nos primeiros sete dias não estão corretos ou não são
bons o suficiente para ele ter uma boa analise ? Ele simplesmente teria de considerar
os dados depois do setimo dia. Então ele teria uma nova sequencia .
Que nos usaremos a notação.

De fato, uma outra maneira de escrever esta sequencia é

Claramente, a sequencia

representa o caso quanto nosso cientista descartou os dados coletados nos primeiros k dias.

Esta sequencia será denotada como calda da sequencia original. E também os primeiros k elementos
da sequencia são conhecidos como cabeça, e o tamanho é k. Usando isto então nos podemos ver que a sequencia .

<ṕ>

está decrescendo depois que nos analisamos os elementos depois dos 9 primeiros elementos
da sequencia .

isto é.

Está decrescendo. Note que nos não checamos isto antes. Assim, isto talvez seja uma boa idéia treinar você mesmo neste tipo de questões.

Nota: Note que existem exemplos de sequencia que não tem uma calda monotonica. Por exemplo, a sequencia é uma delas. Esta sequencia alterna para sempre entre dois numeros isto é 1 e -1.

Existe uma outra maneira de verificar se uma sequencia tem uma calda monotonica.

Considere a sequencia

Não é claro tão pouco óbvio que esta sequencia possui uma calda monotonica. A razão é que enquanto n cresce o numerador também cresce. Considere a função.

Se nos calcularmos a derivada teremos.

Isto é claro que f'(x) < 0, sempre que x > e. Pois n > e, para qualquer então
a calda de

está decrescendo.


Definições: Considere a sequencia . Nos diremos que
é limitada acima , se e somente se existe um numero M tal que

para qualquer . O numero M é chamado um limite superior para a sequencia .


Mais além, iremos dizer que é limitada abaixo se e somente se existe um numero m tal que

para qualquer . O numero m é chamado de um limite inferior para a sequencia .

Exemplo: A sequencia é limitada abaixo por 0( porque ela é positiva). Esta sequencia não é limitada acima.

Exemplo: A sequencia é limitada. Certamente, nos temos para qualquer ,

Portanto 0 é um limite inferior e 1 é um limite superior .